Question 1

Kokia yra tiesės, einančios per tašką (2, -1, 3) ir statmenos plokštumai x - 2y + 3z - 5 = 0, kanoninė lygtis?

Accepted Answer

Tiesė, statmena plokštumai, turi krypties vektorių, lygų plokštumos normalės vektoriui. Plokštumos x - 2y + 3z - 5 = 0 normalės vektorius yra (1, -2, 3). Taškas (2, -1, 3). Kanoninė lygtis: (x-2)/1 = (y+1)/(-2) = (z-3)/3.

Question 2

Koks yra atstumas nuo taško M(1, -2, 0) iki plokštumos, apibrėžtos lygtimi 3x - 4z + 5 = 0?

Accepted Answer

Atstumas nuo taško (x1, y1, z1) iki plokštumos Ax+By+Cz+D=0 apskaičiuojamas pagal formulę d = |Ax1+By1+Cz1+D| / sqrt(A²+B²+C²). Čia A=3, B=0, C=-4, D=5. d = |3*1 + 0*(-2) + (-4)*0 + 5| / sqrt(9+0+16) = |3+5|/5 = 8/5.

Question 3

Plokštumos α ir β pateiktos lygtimis: α: 2x - y + 2z - 5 = 0, β: x + 2y - 2z + 3 = 0. Koks kampas (smailusis) tarp šių plokštumų?

Accepted Answer

Apskaičiuojame normaliuosius vektorius: n₁=(2, -1, 2), n₂=(1, 2, 0). Jų skaliarinė sandauga: 2*1 + (-1)*2 + 2*0 = 2 - 2 + 0 = 0. Vadinasi, cos θ = 0, o kampas θ = 90°. Plokštumos yra statmenos.

Question 4

Koks yra atstumas nuo taško M(1, -2, 3) iki plokštumos, pateiktos lygtimi 2x - 2y + z - 6 = 0?

Accepted Answer

Taikome atstumo formulę: d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A²+B²+C²) = |2*1 + (-2)*(-2) + 1*3 - 6| / √(4+4+1) = |2+4+3-6| / 3 = |3| / 3 = 1.

Question 5

Kokią fizikinę sistemą aprašo elipsės kanoninė lygtis pagal Keplerio pirmąjį dėsnį?

Accepted Answer

Elipsė yra uždara kreivė, todėl tinka aprašyti periodinį planetų judėjimą apie centrinį kūną. Keplerio dėsniai pagrįsti stebėjimais ir vėliau teoriškai pagrįsti Niutono gravitacijos dėsniu.

Question 6

Kuri iš šių lygčių yra hiperbolės, turinčios asimptotes $y = \pm 2x$, kanoninė forma?

Accepted Answer

Hiperbolės $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ asimptotės yra $y = \pm \frac{b}{a}x$. Kad $\frac{b}{a} = 2$, reikia $b=2a$. Parinktyje B $a=1$, $b=2$, tenkinama sąlyga.

Question 7

Kampas tarp vektorių a = (1, 0, 2) ir b = (0, 3, -1) yra:

Accepted Answer

Kampas apskaičiuojamas pagal formulę cos θ = (a·b) / (||a|| ||b||). Skaičiavimai: a·b = 1*0 + 0*3 + 2*(-1) = -2. ||a|| = √(1²+0²+2²) = √5, ||b|| = √(0²+3²+(-1)²) = √10. Tada cos θ = -2 / (√5 √10) = -2 / √50 = -2/(5√2) ≈ -0.2828. θ = arccos(-0.2828) ≈ 1.857 rad (106.4°).

Question 8

Kuri iš šių teiginių apie mišriąją sandaugą [a, b, c] trijų R³ vektorių yra **neteisinga**?

Accepted Answer

Mišrioji sandauga [a, b, c] = (a × b) · c yra skaliarinė reikšmė (skaičius). Vektorius, statmenas plokštumai, kurioje guli a ir b, yra vektorinės sandaugos a × b rezultatas, kuris yra vektorius. Todėl teiginys D yra neteisingas.

Question 9

Tegu A yra 2×3 matrica, o B yra 3×4 matrica. Kokio dydžio bus jų sandaugos matrica C = A B, ir kaip apskaičiuojamas jos elementas c₂₃?

Accepted Answer

Matricų sandaugos dydis nustatomas pagal taisyklę: (m×p) * (p×n) = (m×n). Čia A yra 2×3, B yra 3×4, taigi sandauga bus 2×4. Elementas cᵢⱼ yra A i-tosios eilutės ir B j-tojo stulpelio skaliarinė sandauga. Todėl c₂₃ = a₂₁b₁₃ + a₂₂b₂₃ + a₂₃b₃₃, kur kiekvienas narys atitinka sumavimą per k=1,2,3.

Question 10

Pagal Laplaso teoremą, kaip apskaičiuojamas kvadratinės matricos A determinantas, plečiant pagal j-ąjį stulpelį?

Accepted Answer

Laplaso teorema teigia, kad kvadratinės matricos determinantas gali būti išreikštas plėtimu pagal bet kurią eilutę ar stulpelį. Plėtimas pagal j-ąjį stulpelį: det(A) = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ... + a_{nj}A_{nj} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij}, kur A_{ij} yra elemento a_{ij} adjunktas (algebrinis papildinys).

Kiti populiarūs konspektai

Verslo Teisės Pagrindai

Rinkodaros Temos ir Užduotys

Studijų įgūdžiai ir darbo sauga