Question 1

Kuri koordinačių sistema būtų tinkamiausia aprašyti elektrostatinį lauką, kurį sukuria vienodai įkrautas be galo ilgas tiesus laidininkas?

Accepted Answer

Be galo ilgas tiesus vienodai įkrautas laidininkas sukuria elektrostatinį lauką, kuris yra cilindriškai simetriškas. Cilindrinės koordinatės (ρ, φ, z) yra tinkamiausios, nes leidžia išreikšti lauką kaip funkciją tik nuo atstumo ρ nuo ašies, supaprastinant skaičiavimus.

Question 2

Sferinėse koordinatėse $(r, θ, φ)$, kokį koordinatinį paviršių apibrėžia sąlyga $θ = \pi/4$?

Accepted Answer

Sferinėse koordinatėse (r, θ, φ), kampas θ matuojamas nuo teigiamos z ašies. Sąlyga θ = π/4 (konstanta) apibrėžia kūgį, kurio viršūnė yra koordinačių pradžioje, nes visi taškai su tuo pačiu θ sudaro kūginį paviršių.

Question 3

Kokia yra ortogonalių kreivinių koordinačių apibrėžtinė savybė?

Accepted Answer

Ortogonalios kreivinės koordinatės apibrėžiamos kaip tokios, kur koordinatinės linijos (kreivės, kurių viena koordinatė kinta, o kitos pastovios) kiekviename taške yra viena kitai statmenos, užtikrinant ortogonalumą.

Question 4

Cilindrinėse koordinatėse $(ρ, φ, z)$, koks yra Lamė koeficientas $h_φ$?

Accepted Answer

Cilindrinėse koordinatėse (ρ, φ, z), Lamė koeficientai yra h_ρ = 1, h_φ = ρ, ir h_z = 1. h_φ = ρ, nes lanko ilgio pokytis kampine kryptimi yra ρ dφ, kur ρ yra spindulys nuo z ašies.

Question 5

Skaliariniam laukui $Φ$ cilindrinėse koordinatėse $(ρ, φ, z)$, kuri iš šių yra teisinga jo gradiento $∇Φ$ išraiška?

Accepted Answer

Cilindrinėse koordinatėse $(ρ, φ, z)$, gradiento operatorius yra $∇ = \mathbf{\hat{ρ}} \frac{\partial}{\partial ρ} + \boldsymbol{\hat{φ}} \frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial φ} + \mathbf{\hat{z}} \frac{\partial}{\partial z}$, todėl teisinga išraiška yra B, kuri atitinka šią formulę.

Question 6

Koks yra teisingas fizinio vektoriaus lauko $\vec{F} = F_r \mathbf{\hat{r}} + F_θ \boldsymbol{\hat{θ}} + F_φ \boldsymbol{\hat{φ}}$ divergencijos $∇ \cdot \vec{F}$ skaičiavimo veiksmų seka sferinėse koordinatėse $(r, θ, φ)$? (Lamė koeficientai: $h_r=1, h_θ=r, h_φ=r \sin θ$)

Accepted Answer

Sferinėse koordinatėse, naudojant Lamė koeficientus $h_r=1, h_θ=r, h_φ=r \sin θ$, divergencijos formulė yra $∇ \cdot \vec{F} = \frac{1}{r^2 \sin θ} \left[ \frac{\partial}{\partial r}(r^2 \sin θ F_r) + \frac{\partial}{\partial θ}(r \sin θ F_θ) + \frac{\partial}{\partial φ}(r F_φ) \right]$, kuri supaprastinama iki B varianto. Tai atitinka standartinę fizikinę ir matematinę procedūrą.

Question 7

Kuri iš šių lygčių yra atskiriamųjų kintamųjų?

Accepted Answer

Atskiriamųjų kintamųjų lygtis yra tokia, kurią galima perrašyti į formą $f(y)dy = g(x)dx$. Tik lygtis B) $y' = \frac{\sin(x)}{e^y}$ tenkina šią sąlygą, nes ją galima pertvarkyti į $e^y dy = \sin(x) dx$. Kitos lygtys yra tiesinės arba netenkina atskyrimo kriterijų.

Question 8

Tiesinei lygčiai $y' + 3x^2 y = \sin(x)$, koks yra teisingas integravimo faktorius $\mu(x)$?

Accepted Answer

Tiesinei lygčiai $y' + P(x)y = Q(x)$, integravimo faktorius yra $\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$. Šiuo atveju $P(x) = 3x^2$, taigi $\int 3x^2 dx = x^3$, ir $\mu(x) = e^{x^3}$. Todėl teisingas atsakymas yra B) $\mu(x) = e^{x^3}$.

Question 9

Tarkime, turime homogeninę diferencialinę lygtį $y'' + 2y' + 5y = 0$. Kokia yra jos bendrojo sprendinio forma?

Accepted Answer

Charakteringoji lygtis yra r² + 2r + 5 = 0, kurios diskriminantas yra 4 - 20 = -16, todėl šaknys yra kompleksinės: -1 ± 2i. Tai atitinka sprendinį su eksponentine funkcija ir trigonometrinėmis funkcijomis.

Question 10

Spyruoklinės masės sistema be išorinės jėgos aprašoma lygtimi $m x'' + c x' + k x = 0$. Kokia sąlyga turi būti tenkinama, kad sistema būtų kritiškai slopinta?

Accepted Answer

Kritinis slopinimas atsiranda, kai charakteringos lygties diskriminantas c² - 4mk yra lygus nuliui, t.y. c² = 4mk, todėl šaknys yra realios ir lygios, o sprendinys yra x = (A + Bt)e^(-ct/(2m)).

Kiti populiarūs konspektai

Kietųjų Kūnų Fizikos Konspektas

Atomo ir Branduolio Fizika

Telekomunikacijų Pagrindai