Question 1

Dalelės būsena aprašoma normuota bangine funkcija $\psi(x) = A x e^{-x^2/(2a^2)}$, kur $x \in (-\infty, \infty)$ ir $a$ yra teigiama konstanta. Kokia yra labiausiai tikėtina dalelės padėtis $x_{tik}$?

Accepted Answer

Teisingai. Tikimybės tankis yra $w(x) = C x^2 e^{-x^2/a^2}$ (kur $C=|A|^2$). Ieškome jo maksimumo: $\frac{dw}{dx} = C (2x e^{-x^2/a^2} + x^2 e^{-x^2/a^2} (-2x/a^2)) = 2Cx e^{-x^2/a^2} (1 - x^2/a^2) = 0$. Ši lygybė galioja, kai $x=0$ (minimumas) arba $1 - x^2/a^2 = 0$, t.y., $x = \pm a$ (maksimumai).

Question 2

Kuris iš šių operatorių yra ermitinis (jei $x \in (-\infty, \infty)$)?

Accepted Answer

Teisingai. Tai yra dviejų ermitinių operatorių $\hat{x}$ ir $\hat{p}_x$ simetrizuota sandauga. Bendru atveju, jei $\hat{A}$ ir $\hat{B}$ yra ermitiniai, tai $\frac{1}{2}(\hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A})$ yra ermitinis. Patikrinimas: $\hat{C}^{\dagger} = \frac{1}{2}( (\hat{x}\hat{p}_x)^{\dagger} + (\hat{p}_x\hat{x})^{\dagger} ) = \frac{1}{2}(\hat{p}_x^{\dagger}\hat{x}^{\dagger} + \hat{x}^{\dagger}\hat{p}_x^{\dagger}) = \frac{1}{2}(\hat{p}_x\hat{x} + \hat{x}\hat{p}_x) = \hat{C}$.

Question 3

Duotas Hamiltono operatorius $\hat{H} = \frac{\hat{p}_x^2}{2m} + V(x)$. Raskite komutatorių $[\hat{x}, \hat{H}]$.

Accepted Answer

Teisingai. Naudojame komutatoriaus tiesiškumą: $[\hat{x}, \hat{H}] = [\hat{x}, \frac{\hat{p}_x^2}{2m}] + [\hat{x}, V(x)]$. Kadangi $\hat{x}$ ir $V(x)$ yra tiesiog daugybos operatoriai, $[\hat{x}, V(x)] = 0$. Pirmam nariui taikome $[\hat{A}, \hat{B}^2] = [\hat{A}, \hat{B}]\hat{B} + \hat{B}[\hat{A}, \hat{B}]$ taisyklę: $\frac{1}{2m} [\hat{x}, \hat{p}_x^2] = \frac{1}{2m} ([\hat{x}, \hat{p}_x]\hat{p}_x + \hat{p}_x[\hat{x}, \hat{p}_x])$. Kadangi $[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar$ (konstanta), gauname $\frac{1}{2m} (i\hbar \hat{p}_x + \hat{p}_x i\hbar) = \frac{2 i\hbar \hat{p}_x}{2m} = \frac{i\hbar \hat{p}_x}{m}$.

Question 4

Kokia yra operatoriaus $\hat{A} = \begin{pmatrix} 3 & i \ -i & 3 \end{pmatrix}$ tikrinių verčių suma?

Accepted Answer

Teisingai. Bet kurios (ypač ermitinės) matricos pėdsakas (diagonalinių elementų suma) yra lygus jos tikrinių verčių sumai. Šiuo atveju $Tr(\hat{A}) = 3 + 3 = 6$. Iš tikrųjų, tikrinės vertės yra $\det(\hat{A}-\lambda I) = (3-\lambda)^2 - (i)(-i) = \lambda^2 - 6\lambda + 9 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda-2)(\lambda-4) = 0$, taigi $\lambda_1=2, \lambda_2=4$, o jų suma $2+4=6$.

Question 5

Sistema yra būsenoje $|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}} |\psi_1\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} |\psi_2\rangle$, kur $|\psi_1\rangle$ ir $|\psi_2\rangle$ yra normalizuotos operatoriaus $\hat{A}$ tikrinės būsenos su tikrinėmis vertėmis $a_1=1$ ir $a_2=-2$. Kokia tikimybė, išmatavus dydį $A$, gauti $a_1$?

Accepted Answer

Teisingai. Pagal Borno taisyklę, tikimybė $W(a_n)$ išmatuoti tikrinę vertę $a_n$ yra lygi atitinkamo koeficiento $c_n$ modulio kvadratui būsenos $|\Psi\rangle = \sum c_n |\psi_n\rangle$ skleidinyje. Šiuo atveju, koeficientas prie $|\psi_1\rangle$ yra $c_1 = 1/\sqrt{3}$. Todėl tikimybė išmatuoti $a_1$ yra $W(a_1) = |c_1|^2 = |1/\sqrt{3}|^2 = 1/3$.

Question 6

Sistema laiko momentu $t=0$ yra būsenoje $\Psi(x, 0) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi_1(x) + \psi_2(x))$, kur $\psi_1$ ir $\psi_2$ yra stacionariosios Šriodingerio lygties sprendiniai su energijomis $E_1$ ir $E_2$ ($E_1 
eq E_2$). Ar tikimybės tankis $|\Psi(x, t)|^2$ priklauso nuo laiko?

Accepted Answer

Teisingai. Būsena laiko momentu $t$ yra $\Psi(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi_1 e^{-iE_1 t/\hbar} + \psi_2 e^{-iE_2 t/\hbar})$. Tikimybės tankis: $ |\Psi|^2 = \Psi^* \Psi = \frac{1}{2} (\psi_1^* e^{iE_1 t/\hbar} + \psi_2^* e^{iE_2 t/\hbar}) (\psi_1 e^{-iE_1 t/\hbar} + \psi_2 e^{-iE_2 t/\hbar}) = \frac{1}{2} (\psi_1^*\psi_1 + \psi_2^*\psi_2 + \psi_1^*\psi_2 e^{-i(E_2-E_1)t/\hbar} + \psi_2^*\psi_1 e^{i(E_2-E_1)t/\hbar}) $. Paskutiniai du nariai yra kompleksiškai jungtiniai vienas kitam, todėl jų suma yra $2 	ext{Re}(\psi_1^*\psi_2 e^{-i(E_2-E_1)t/\hbar})$. Kadangi $E_1 
eq E_2$, šis narys priklauso nuo laiko (osciliuoja su dažniu $\omega = (E_2-E_1)/\hbar$), todėl ir visas tikimybės tankis priklauso nuo laiko.

Question 7

Koks yra rezultatas, gautas normaliąja tvarka išrikiuojus operatorių $\hat{B} = \hat{a}\hat{a}^{\dagger}\hat{a}$?

Accepted Answer

Teisingai. Naudojame komutacinį sąryšį $\hat{a}\hat{a}^{\dagger} = \hat{a}^{\dagger}\hat{a} + 1$. Tada $\hat{B} = \hat{a}\hat{a}^{\dagger}\hat{a} = (\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + 1)\hat{a} = \hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a} + 1\cdot\hat{a} = \hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a} + \hat{a}$. Gautas reiškinys yra normalioje tvarkoje, nes vienintelis kūrimo operatorius $\hat{a}^{\dagger}$ yra kairiau už visus anihiliacijos operatorius $\hat{a}$.

Question 8

Jei banginė funkcija yra $\psi(x)=C\varphi(x)e^{ikx}$, kur $\varphi(x)$ reali ir funkcinė yra sunormuota, koks yra šios būsenos vidutinis judesio kiekis $\langle p_x\rangle$?

Accepted Answer

Panaudojimas — išspręstos užduotys: (i) jei $\psi=C\varphi(x)e^{ikx}$ su realia $\varphi$, tada \langle p_x\rangle=\hbar k (jei funkcija sunormuota);

Question 9

Kurį teiginį yra teisingas laisvajai vienmačiai daleliai su dispersija $\omega=\hbar k^2/(2m)$?

Accepted Answer

Fizinis paaiškinimas — grupinis greitis atitinka kvantinės dalelės klasikinį greitį ir yra tas, su kuriuo juda tikimybės centras; fazinis greitis gali būti kitoks ir net užtikrintai didesnis už šviesos greitį be informacijos perdavimo prieštaravimo (tai tik fazės savybė).

Question 10

Kodėl begalinėje potencialo duobėje nėra fizinės stacionarios būsenos su $n=0$?

Accepted Answer

Fizikinė reikšmė: nėra nenulinės ($n=0$) fizinės stacionarios būsenos — $n=0$ reikštų $\psi\equiv0$. Taip pat vienmačiu atveju energijos nėra išsigimusios (vienas laisvas laipsnis).

Kiti populiarūs konspektai

Telekomunikacijų Pagrindai

Rinkodaros Temos ir Užduotys

Įmonių Finansai