Question 1

Kuris iš šių teiginių TIKSLIAI apibūdina ekstensyviųjų ir intensyviųjų būsenos kintamųjų skirtumą, remiantis jų matematinėmis savybėmis?

Accepted Answer

Teisingas atskiriamasis požymis yra matematinė homogeniškumo savybė. Ekstensyvusis dydis X, priklausantis nuo kitų ekstensyviųjų dydžių (U, V, N,...), tenkina: X(λU, λV, λN,...) = λ X(U, V, N,...). Intensyvusis dydžių Y tenkina: Y(λU, λV, λN,...) = Y(U, V, N,...). Tai yra pagrindinis apibrėžimas, iš kurio kyla visi kiti požymiai, pvz., adityvumas ekstensyviųjų dydžių.

Question 2

Iš kokios esminės statistinės mechanikos išraiškos GALUTINĖJE FORMALIZME logiškai išplaukia visi pusiausvyros makroskopiniai parametrai (pvz., slėgis p, vidinė energija U, cheminis potencialas μ) ir jų fliuktuacijos?

Accepted Answer

Statistinė suma Z (arba didžioji statistinė suma Ξ) yra pagrindinis statistikinės mechanikos objektas, sujungiantis mikroskopinį pasaulį su makroskopiniu. Visi termodinaminiai potencialai (F = -k_B T ln Z), jų išvestinės (p = -∂F/∂V, U = ∂(βF)/∂β, μ = ∂F/∂N) ir fliuktuacijos (⟨(ΔA)^2⟩ = ⟨A^2⟩ - ⟨A⟩^2, kur vidurkiai skaičiuojami naudojant Z) yra gaunami iš Z ir jos logaritmo.

Question 3

Kodėl makroskopinėje termodinaminėje būsenoje atitinka daugybė skirtingų mikrobūsenų?

Accepted Answer

Makroskopinė būsena apibūdinama keliais intensyviaisiais ir ekstensyviaisiais parametrais, kurie nėra pakankami norint vienareikšmiškai nustatyti visus $6N$ fazinės erdvės kintamuosius. Todėl kiekvieną makroskopinę būseną sudaro visa mikrobūsenų aibė, atitinkanti tuos parametrus. Statistinė mechanika dirba su tokiais ansambliais.

Question 4

Kuo esminiai skirtumas tarp Izingo modelio ir paprasto dviejų lygmenų sukinių modelio be sąveikų?

Accepted Answer

Esminis skirtumas – tai sąveikų tarp sukinų buvimas Izingo modelyje ($J \sum_{\langle i,j \rangle} s_i s_j$) ir jų nebuvimas paprastame nepriklausomų sukinių modelyje. Būtent dėl šių sąveikų Izingo modelyje gali atsirasti fazinis virsmas (spontaniškas magnetizavimas) esant baigtinei kritinei temperatūrai, ko negali būti be sąveikų.

Question 5

Kaip kinta trimatės erdvės laisvosios dalelės būsenų tankis $g(E)$ priklausomai nuo energijos $E$?

Accepted Answer

Trimačiai laisvajai dalelei būsenų tankis $g(E) \propto \sqrt{E}$, t.y., $E^{1/2}$. Tai išplaukia iš fazinio tūrio $\Omega(E) \propto E^{3/2}$ diferencijavimo.

Question 6

Kodėl harmoninio osciliatoriaus būsenų tankis yra pastovus, nepriklausomas nuo energijos $E$?

Accepted Answer

Harmoninio osciliatoriaus Hamiltonas $H = p^2/(2m) + m\omega^2 x^2/2$ lemia elipsės formos energijos paviršių fazinėje erdvėje. Fazinis plotas (tūris) su $H \leq E$ yra $\pi \cdot \sqrt{2E/(m\omega^2)} \cdot \sqrt{2mE} = 2\pi E/\omega$. Taigi $\Omega(E) \propto E$, o $g(E) = d\Omega/dE = 	ext{const}$.

Question 7

Kuri formulė teisingai išreiškia Boltzmanno entropiją mikrokanoniniam ansambliui, kai W yra pasiekiamų mikrobūsenų skaičius?

Accepted Answer

Boltzmanno formulė $S = k_B \ln W$ yra pagrindinis ryšys tarp termodinaminės entropijos ir mikrobūsenų skaičiaus. Logaritmas užtikrina entropijos adityvumą dviejų nepriklausomų sistemų atveju: bendras būsenų skaičius yra sandauga, o bendra entropija – suma.

Question 8

Kodėl, statistinio požiūrio, izoliuotos sistemos entropija linkusi didėti?

Accepted Answer

Entropijos didėjimas yra tikimybinis fenomenas. Makrobūsena apibrėžia sritį fazinėje erdvėje. Kuo ši sritis didesnė (t. y., kuo daugiau mikrobūsenų ją sudaro), tuo didesnė tikimybė, kad sistema bus rasta toje būsenoje. Todėl sistema iš mažesnės entropijos (mažo $\Omega$) būsenos spontaniškai pereina į didesnės entropijos (didelio $\Omega$) būseną.

Question 9

Dvi didelės izoliuotos sistemos A ir B, turinčios pradines energijas E_A ir E_B, yra sujungiamos šiluminiame kontakte. Kokia yra būtina ir pakankama sąlyga, kad pasiektus pusiausvyrą energija nebemainytųsi?

Accepted Answer

Izoliuotos kombinuotos sistemos (A+B) pusiausvyra pasiekiama, kai jos entropija S_vis = S_A + S_B pasiekia maksimumą, atsižvelgiant į bendros energijos E_A+E_B pastovumo sąlygą. Iš šios sąlygos, diferencijuojant, gaunama ∂S_A/∂E_A = ∂S_B/∂E_B, o tai pagal apibrėžimą reiškia T_A = T_B.

Question 10

Kanoniniame ansamblyje temperatūra T tiesiogiai susijusi su vidutinės energijos ⟨E⟩ fliuktuacijomis ⟨(ΔE)^2⟩. Kokia yra teisinga šių dydžių matematinė išraiška?

Accepted Answer

Iš kanoninio ansamblio statistinės sumos Z galima parodyti, kad ⟨(ΔE)^2⟩ = ⟨E^2⟩ - ⟨E⟩^2 = ∂² ln Z / ∂β² = -∂⟨E⟩/∂β. Kadangi β = 1/(k_B T), tai ∂⟨E⟩/∂β = -k_B T^2 (∂⟨E⟩/∂T) = -k_B T^2 C_V. Taigi, ⟨(ΔE)^2⟩ = k_B T^2 C_V. Šis ryšys iliustruoja, kad temperatūra nulemia ne tik vidutinę energiją, bet ir jos fluktuacijų dydį.

Kiti populiarūs konspektai

Kvantinė Mechanika

Įmonių Finansai

Fizika